تكامل مفهوم تابع حدود دو قرن به طول انجامید . دیریكله ، ریاضی دان آلمانی( 1859 – 1805 م )، در اواسط قرن نوزدهم تعریف امروزی تابع را به صورتی روشن بیان كرد و گفت : « y تابعی از متغیر x در بازه a < x < b است؛ به شرطی كه هر مقدار x از این بازه با مقدار معین و مشخص از y ‌متناظر باشد ؛ البته، این تناظر می تواند به هر ترتیب دلخواهی باشد.»

پیش از این تعریف ، برای نخستین بار ، مقدار متغیر ( تابع ) در قرن هفدهم و در نوشته های هندسی فرما ( 1655 – 1601 م ) و دكارت ، ریاضیدان فرانسوی ، مطرح شد .برای مثال ، دكارت در كتاب هندسه خود مفهوم تابع را به عنوان " تغییر عرض در نتیجه تغییر طول " بررسی می كند.

در قرن هجدهم یوهان برنولی ( 1748- 1667 م ) دیدگاه جدیدی را نسبت به تابع مطرح می كند . او می گوید : « تابع به عنوان دستوری است كه مقدار یك متغیر را با مقدار متغیر دیگر در نظر می گیرد.»

در سال 1748 لئوناردا ویلر ، شاگرد یوهان برنولی ، نماد f) Function) را برای تابع در نظر گرفت و آن را از دیدگاه تحلیلی به صورت زیر مطرح كرد:

« تابع یك متغیر ، عبارت است از یك عبارت تحلیلی كه به نحوی از این مقدار متغیر و از عددها یا مقدارهای ثابت تشكیل شده است.»

بنابراین، ریاضیدانان پس از گذشت دو قرن توانستند مفهوم تابع را به صورت امروزی آن كامل كنند. پس چه بهتر است ما معلمان این مفهوم را با حوصله بیشتری برای دانش آموزان مطرح كنیم. استدلال های شهودی تا حدود زیادی می توانند به ما كمك كنند.

معرفی مفهوم تابع با شهود

همان طور كه گفتیم تعریف تابع به صورت امروزی بین ریاضیدانان رایج نبود بلكه همه آنان تصویر ذهنی مشتركی از این مفهوم داشتند. چه بهتر كه برای تدریس مفهوم تابع از آن تصور ذهنی مشترك ریاضی دان ها استفاده كنیم و دانش آموزان را مانند ریاضیدان ها با مفهوم تابع درگیر كنیم تا در مرحله آخر خودشان به تعریف امروزی تابع برسند.

تصور ذهنی مشترك همه ریاضیدان ها این بود كه تابع مانند یك ماشین عمل می كند ، به طوری كه یك x را از ورودی می گیرد و تنها یك مقدار y از خروجی بیرون می دهد. پس می توان ابتدا از مدل زیر برای بیان مفهوم تابع استفاده كرد:

چون ماشین f عملی را روی x انجام می دهد، می توان عمل انجام شده روی x را با (f(x نمایش داد . بنابراین می توان در خروجی به جای y از نماد (f (x استفاده كرد:

مثال روزمره از تابع

قیمت نان را معمولا بر حسب قیمت هر كیلوگرم آرد محاسبه می كنند . جدول 1 قیمت گذاری نان را در سال های 1358 تا 1382 نشان می‌دهد:

بیشتر كاربردهای ریاضی مستلزم استفاده از عددها و متغیرها برای بیان رابطه های موجود در دنیای واقعی اطراف ما و زندگی روزمره است . با توجه به جدول 1، فرض كنیم قیمت هر كیلوگرم آرد در سال های مشخص شده x ریال و قیمت نان در سال متناظر با آن y ریال باشد . در این صورت جدول 1رابطه ای را بین x و y بیان می كند . این رابطه ، نمونه ای از تابع ریاضی است . زیرا برای هر x ( قیمت هر كیلوگرم آرد ) فقط یك قیمت متناظر y ( قیمت نان ) وجود دارد كه برای خرید هر عدد نان پرداخت می شود . در حقیقت جدول بالا قاعده ای را برای محاسبه قیمت نان در سال های مختلف نشان می دهد . با كمی دقت در این جدول می توانید رابطه x ( قیمت هر كیلوگرم آرد ) و y ( قیمت هر عدد نان ) را بیان كنید . این رابطه، قاعده ای را نشان می دهد كه ضابطه تابع نامیده می شود.

حالا آیا می توانید حدس بزنید كه اگر در سال 1386 قیمت آرد 3 هزار ریال باشد، قیمت هر عدد نان در آن سال چقدر خواهد بود ؟ یا اگر قیمت نان در یك سال 5 ریال باشد ، قیمت آرد در آن سال چقدر خواهد بود ؟ آیا می توانید رابطه x و y را با نماد ریاضی بنویسید ؟

تعریف تابع قیمت نان

تابع f ، قاعده ای است كه روی مجموعه D تعریف می شود به طوری كه به هر x متعلق به D ، یك عدد مشخص f(x) را نسبت می‌دهد.

عدد f(x) ، مقدار تابع f را به ازای x نشان می دهد . كلمه قاعده كه در تعریف بالا به آن اشاره شد،‌می تواند با یك جدول ، ‌یك فرمول ، یك نمودار یا حتی با یك جمله مشخص شود. به طوری كه با استفاده از آن ،‌ مقدار f(xی x داده شده مشخص می شود . معمولا از x برای نشان دادن متغیر و از f برای نشان دادن تابع استفاده می كنیم.

همچنین می توانیم از حروف دیگری كه دوست داریم یا در وضعیت خاصی مناسب تر است، استفاده كنیم.

در تابع قیمت نان كه ذكر كردیم، مجموعه D از همه مقادیر ممكن برای قیمت هر كیلوگرم آرد در سال های مختلف تشكیل شده است:

D = {50، 100، 200، 1000، 1500، 2000}  

كه آن ها را با x مشخص كردیم . با معلوم بودن x در ستون دوم جدول، به راحتی می توان قیمت متناظر هر عدد نان یعنی f(x) را از ستون سوم پیدا كرد . بنابراین داریم :

10= (50) f

20= (100) f

40= (200) f

100= (500) f

200= (1000) f

300= (1500) f

400= (2000) f

با توجه به برابری های بالا ملاحظه می كنید كه قیمت نان در حقیقت یك پنجم قیمت آرد است و این همان قاعده ای است كه قیمت گذاری هر عدد نان را بر حسب قیمت هر كیلوگرم گندم نشان می دهد ، بنابراین : x 5/1 = f(x. به این قاعده، ضابطه تابع گفته می شود. می توانیم برای نشان دادن تابع قیمت نان ، اطلاعات جدول 1را با نمودار زیر نشان دهیم .

در زندگی روزمره می توان مثال های فراوان دیگری را برای بیان مفهوم تابع بیان كرد . برای مثال نمره درس ریاضی دانش آموزان ، تابعی از مدت زمان مطالعه آنها است .

مثال زیست شناختی تابع

وزن طبیعی هر شخص می تواند تابعی از طول قد همان شخص باشد ( مجذور قد بر حسب متر * 22= وزن طبیعی بر حسب كیلوگرم ) . مدت زمان ترمیم یك زخم در بدن ، تابعی از ساخت سلول های جدید و ساخت سلول های جدید تابعی از پروتئین های لازم برای ساخت سلول هاست .

مثال ریاضی تابع

مساحت ( A ) دایره ای به شعاع r از قاعده A= p r 2 به دست می آید :

به طور معمول این فرمول را با نماد تابعی به صورت A(r)= p r 2 می نویسیم تا مشخص شود ، مساحت دایره A ، به شعاع دایره r وابسته است . هر چه شعاع بزرگ تر شود ، مساحت بزرگ تر می شود . بنابراین شعاع، هر عدد دلخواه نامنفی می تواند باشد ، اما مساحت همواره به شعاع دلخواه مستقل وابسته است . از این رو، شعاع یعنی متغیر r را در این تابع متغیر مستقل و A را متغیر وابسته می گوییم .

مثال فیزیكی تابع

اگر سنگ ریزه ای از بالای برجی به طرف پایین رها شود و شتاب جاذبه 9.8/s 2 = g باشد ، در این صورت سرعت( به طرف پایین ) V بعد از t ثانیه و فاصله پیموده شده d از موقع رها شدن پس از t ثانیه ، از رابطه های زیر به دست می آید :

V(t)= 9.8t

d(t)= 4.9t 2

همان طور كه ملاحظه می كنید V و d هر دو تابع هایی از t هستند . در این دو تابع t متغیر مستقل و v و d هر دو متغیرهای وابسته به t هستند .

تركیب دو تابع

تابع وارون

تابه وارون f تابعی است كه عمل f را خنثی می كند ، پس -1 (x)=x fof

مثال : تابع وارون تابع ها باضابطه های زیر را به دست آورید .

حد تابع در یك نقطه

حد تابع در یك نقطه را در دو حالت بررسی می كنیم .

1- تابع در نقاط توپر دارای حد است فرض كنیم ( x,y ) A نقطه ای از نمودار تابه با ضابطه y=f(x) باشد ، حد تابع f در نقطه ای به طول x برابر با y است .

2- وضعیت حد تابع در نقاط توخالی به صورت زیر است :

الف ) اگر نمودار f در سمت چپ نقطه توخالی موجود باشد ، آن گاه تابع در این نقطه دارای حد چپ است .

ب ) اگر نمودار تابع f در سمت راست نقطه توخالی موجود باشد ، آن گاه تابع در این نقطه دارای حد راست است .

ج) اگر نمودار تابع در دو طرف نقطه توخالی موجود باشد ، یعنی نمودار تابع در نقطه توخالی بریدگی نداشته باشد ، آن گاه تابع در این نقطه دارای حد راست و چپ برابر است كه در این حالت می گوییم ، تابع در این نقطه دارای حد است .

پیوستگی تابع در یك نقطه

نمودار تابع y=f(x را در نظر  می‌گیریم:

• نقطه توپر را مقدار تابع می گوییم.

• اگر حد چپ و مقدار در یك نقطه بر هم منطبق شوند ، آن گاه تا بع در آن نقطه پیوستگی چپ دارد.

• اگر حد راست و مقدار تابع در یك نقطه بر هم منطبق شوند ، آن گاه تابع در آن نقطه پیوستگی راست دارد.

• اگر مقدار تابع و حد تابع در یك نقطه بر هم منطبق شوند ، آن گاه تابع در آن نقطه پیوسته است.

مشتق پذیری تابع در یك نقطه

تابع f در x مشتق پذیر است ، هر گاه:

الف ) تابع f در x پیوسته باشد.

ب ) در نقطه x فقط و فقط یك خط مماس بر منحنی تابع f وجود داشته باشد . (این خط مماس باید موازی محور عرض ها نباشد)

سؤال : تابع f در چه نقاطی مشتق پذیر نیست ؟

الف ) در نقاطی كه تابع در آن ها ناپیوسته باشد .

ب ) در نقاطی كه دو خط مماس بر منحنی f وجود داشته باشد. ( نقطه زاویه دار منحنی )

ج ) در نقاطی كه خط مماس بر منحنی f موازی محور عرض ها باشد.

تابع اكیدا صعودی و نزولی

تابع پیوسته f را وقتی اكیدا صعودی می گوییم كه هر گاه روی شكل از چپ به راست حركت كنیم ، همیشه به طرف بالا برویم.

تابع پیوسته f را اكیدا نزولی گوییم كه هر گاه رو شكل از سمت چپ به راست حركت كنیم ، همیشه به طرف پایین برویم.

تابع صعودی و نزولی

تابع پیوسته f را وقتی صعودی گوییم كه هر گاه روی شكل از سمت چپ به راست حركت كنیم ، همیشه به طرف بالا برویم یا موازی محور x ها حركت كنیم .

تابع یوسته f را وقتی نزولی می گوییم كه هر گاه روی شكل از سمت چپ به راست حركت كنیم ، همیشه به طرف پایین بر.یم یا موازی محور x ها حركت كنیم.

اكسترمم نسبی تابع

• نقطه ای به طول x متعلق به D 1 را طول نقطه ماكزیمم نسبی تابع f گوییم ، هر گاه:

الف ) در همسایگی x نمودار تابع f موجود باشد.

ب ) عرض نقطه x بزرگ تر یا مساوی با عرض نقطه همسایگی باشد.

• نقطه ای به طول x متعلق به D 1 را طول نقطه می نیمم نسبی تابع f گوییم ، هر گاه:

الف ) در همسایگی x نمودار تابع f موجودد باشد.

ب ) عرض نقطه x كوچك تر یا مساوی با عرض نقطه همسایگی باشد.

اكسترمم مطلق تابع

بالاتر نقطه نمودار تابع را ماكزیمم مطلق و پایین ترین نقطه نمودار f را می نیمم مطلق تابع می‌وییم.

تذكر : اگر اكسترمم مطلق ،‌همسایگی داشته باشد ، آن گاه اكسترمم نسبی تابع هم خواهد بود.